een wiskundige spons bouwen

De Mengerspons is een driedimensioneel fractaal lichaam dat voor het eerst door Karl Menger in 1926 beschreven werd. Mengers werk past in het toenmalige onderzoek in de topologie en verzamelingenleer.

Mengers idee bouwt eigenlijk voort op een oudere tweedimensionale constructie van Georg Cantor, de grondlegger van de verzamelingleer, de zogeheten Cantor-verzameling. Cantors verzameling vertrekt van een lijnstuk, verdeeld in drie gelijke stukken, waarvan je het middelste stuk verwijdert. Met de twee resterende stukken herhaal je de procedure, je deelt ze op in drie gelijke stukken en je verwijdert het middelste stuk. Enzoverder. Het resultaat na oneindig veel herhalingen is de Cantor-verzameling, die evenveel punten bevat als een gewoon lijnstuk, maar toch lengte (of maat) 0 heeft.

Menger breidde dit idee uit naar drie dimensies: Begin met een kubus, verdeel die kubus in 27 gelijke kubussen (dus een 3x3x3 kubus), en verwijder de kubussen in het midden van de zijdes en de kubus in het midden van de oorspronkelijke kubus. Herhaal nu de procedure met de 20 overgebleven kubussen, deel ze dus op in 27 kubussen, en verwijder opnieuw de middelste kubussen. Enzovoort. Het resultaat is een driedimensionaal lichaam dat evenveel punten bevat als de oorspronkelijke kubus maar toch slecht een inhoud van 0 heeft.

Zowel Cantors verzameling als Mengers spons, samen met vele andere constructies uit de wiskunde rond de 1900-eeuwwisseling, werden later fractalen genoemd, in het Nederlands zou je van breukfiguren kunnen spreken. Fractalen werden door Benoît Mandelbrot geintroduceerd in de jaren 1970 en 1980. Volgens Mandelbrot waren fractalen zichzelf herhalende structuren, waarbij je steeds kon inzoomen op kleinere details die opnieuw herhaalden wat je al had. Mandelbrot beargumenteerde dat je overal in de natuur fractale structuren kon terugvinden. Maar vooral, fractalen waren ook mooi en werden in de jaren 1980 populair, in het bijzonder omdat je ze met een thuiscomputer gemakkelijk zelf kon berekenen en ze op het scherm tonen.